"Dingen worden raar als we naar oneindig gaan."
Dergelijke uitspraken hoor je regelmatig in bijvoorbeeld Youtube-filmpjes waarin aandacht aan dit begrip (niet: getal!) wordt besteed.
Een voorbeeld hiervan:
Een video van Zach Star, een ook door mij gewaardeerd kanaal met B-films. En met B bedoel ik dan Beta.
Tocht zijn dit soort filmpjes, al zijn ze gemaakt door wetenschappers met meer verstand van de materie dan ik, soms bewust onvolledig. Wat iets anders is dan misleidend. Dat wil ik toelichten aan de hand van het voorbeeld dat in het filmpje hierboven na ongeveer 2,5 minuten begint.
Ik begin even met een voorbeeld dat in de verste verte oneindigheid niet benaderd. Een 'schaakbord' - ik noem het liever niet matrix - van 4 bij 4 getallen:
Als we de totale waarde willen berekenen, kunnen we bijvoorbeeld eerst alle rijen optellen en vervolgens de som van de rijwaardes nemen, of tellen eerst alle kolommen op en nemen vervolgens de som van de kolomwaardes. Uiteraard komt daar hetzelfde uit: we tellen elk getal immers in beide gevallen één keer.
In de video wordt dit idee uitgewerkt met een reeks van -1, 1/2, 1/4, 1/8 etc, die elke volgende rij een positie naar rechts verschuift, en aan de voorkant wordt aangevuld met een 0. Dan krijg je onderstaand patroon waarbij ik de breuken als decimaal getal heb weergegeven. En uiteraard komt er ook nu bij het optellen via de rijen of via de kolommen hetzelfde uit: een getal dat net geen -2 is.
Overigens, het langer maken van de reeks betekent dat we de -2 steeds dichter naderen. Maar wat gebeurt er als we helemaal "all the way up to infinity' gaan?
Als we de kolommen optellen en daar de som van nemen, dan "gaan" we gewoon naar -2 (onderstaand heb ik de decimalen vervangen door breuken).
Maar wat krijgen we, als we nu een rij optellen?
0! Inderdaad, elke rij is 0. En dus is de som van alle rijen ook 0. Twijfelen is niet nodig, want dezelfde 1/2 + 1/4 + 1/8 etc is 1, gebruiken we hier om te laten zien dat een rij 0 is.
Maar dan is 0 gelijk aan 2? Want als ik de rijen optel moet ik toch hetzelfde krijgen als de kolommen? Ik tel toch alle cellen één keer?
NEE.
Het verschil is dat als ik kolommen optel, ik als ik links begin, steeds naar een volgende kolom kan gaan. Neem de eerste kolom. Dat is -1 plus oneindig veel nullen. Die nullen hoef ik niet allemaal op te tellen, oneindig veel nullen zijn nul en -1 + 0 is -1. Ik kan dus snel door naar kolom 2. Dat wordt 1/2 - 1 plus oneindig veel nullen. Dat wordt dus 0,5 en ik kan naar kolom 3. Natuurlijk, in de "oneindigste kolom" (een onzin begrip want oneindig is geen getal, maar voor het idee) kom ik nooit. Maar ik kan wel altijd naar de volgende kolom omdat, hoe ver ik ook ga, er uiteindelijk weer een oneindige rij nullen is die "onderin" de kolom zitten. Er komt dus altijd weer een moment dat ik naar de volgende kolom kan, al zal dat, als ik heel ver naar rechts ga, heel lang zal duren.
Nu de rijen. De eerste rij krijg ik nooit af! Want er volgt altijd weer een kleiner getal (1 gedeeld door een steeds hogere macht van 2) dat ik aan de rij toe voeg. De tweede rij bereik ik nooit, ik moet oneindig lang doorgaan omdat ik de eerste rij nooit af krijg.
Het optellen van de kolommen heeft dus een andere oneindigheid dan het optellen van de rijen. En daarom krijg ik twee andere uitkomsten.
Overigens is het opstellen van rijen of kolommen niet de meest mooie manier om het aan te pakken. Dat is, op een "oneindig schaakbord" het optellen van diagonalen. In onderstaand plaatje heb ik dat proberen duidelijk te maken. En de vraag is natuurlijk: wat is dan de uitkomst?
