Oneindig?

 "Dingen worden raar als we naar oneindig gaan."

Dergelijke uitspraken hoor je regelmatig in bijvoorbeeld Youtube-filmpjes waarin aandacht aan dit begrip (niet: getal!) wordt besteed.

Een voorbeeld hiervan: 

Een video van Zach Star, een ook door mij gewaardeerd kanaal met B-films. En met B bedoel ik dan Beta.

Tocht zijn dit soort filmpjes, al zijn ze gemaakt door wetenschappers met meer verstand van de materie dan ik, soms bewust onvolledig. Wat iets anders is dan misleidend. Dat wil ik toelichten aan de hand van het voorbeeld dat in het filmpje hierboven na ongeveer 2,5 minuten begint.

Ik begin even met een voorbeeld dat in de verste verte oneindigheid niet benaderd. Een 'schaakbord' - ik noem het liever niet matrix - van 4 bij 4 getallen:

Als we de totale waarde willen berekenen, kunnen we bijvoorbeeld eerst alle rijen optellen en vervolgens de som van de rijwaardes nemen, of tellen eerst alle kolommen op en nemen vervolgens de som van de kolomwaardes. Uiteraard komt daar hetzelfde uit: we tellen elk getal immers in beide gevallen één keer. 

In de video wordt dit idee uitgewerkt met een reeks van -1, 1/2, 1/4, 1/8 etc, die elke volgende rij een positie naar rechts verschuift, en aan de voorkant wordt aangevuld met een 0. Dan krijg je onderstaand patroon waarbij ik de breuken als decimaal getal heb weergegeven. En uiteraard komt er ook nu bij het optellen via de rijen of via de kolommen hetzelfde uit: een getal dat net geen -2 is.

Overigens, het langer maken van de reeks betekent dat we de -2 steeds dichter naderen. Maar wat gebeurt er als we helemaal "all the way up to infinity' gaan?

Als we de kolommen optellen en daar de som van nemen, dan "gaan" we gewoon naar -2 (onderstaand heb ik de decimalen vervangen door breuken).

En dit voelt goed. De limiet van 1/2 + 1/4 + 1/8 etc  is immers 1. Dus is de limiet van - 1/2 - 1/4 - 1/8 etc -1. En -1 -1 is -2. Zie de onderste blauwe regel, en het klopt.

Maar wat krijgen we, als we nu een rij optellen? 

0! Inderdaad, elke rij is 0. En dus is de som van alle rijen ook 0. Twijfelen is niet nodig, want dezelfde 1/2 + 1/4 + 1/8 etc is 1, gebruiken we hier om te laten zien dat een rij 0 is.

Maar dan is 0 gelijk aan 2? Want als ik de rijen optel moet ik toch hetzelfde krijgen als de kolommen? Ik tel toch alle cellen één keer?

NEE.

Het verschil is dat als ik kolommen optel, ik als ik links begin, steeds naar een volgende kolom kan gaan. Neem de eerste kolom. Dat is -1 plus oneindig veel nullen. Die nullen hoef ik niet allemaal op te tellen, oneindig veel nullen zijn nul en -1 + 0 is -1. Ik kan dus snel door naar kolom 2. Dat wordt 1/2 - 1 plus oneindig veel nullen. Dat wordt dus 0,5 en ik kan naar kolom 3. Natuurlijk, in de "oneindigste kolom" (een onzin begrip want oneindig is geen getal, maar voor het idee) kom ik nooit. Maar ik kan wel altijd naar de volgende kolom omdat, hoe ver ik ook ga, er uiteindelijk weer een oneindige rij nullen is die "onderin" de kolom zitten. Er komt dus altijd weer een moment dat ik naar de volgende kolom kan, al zal dat, als ik heel ver naar rechts ga, heel lang zal duren.

Nu de rijen. De eerste rij krijg ik nooit af! Want er volgt altijd weer een kleiner getal (1 gedeeld door een steeds hogere macht van 2) dat ik aan de rij toe voeg. De tweede rij bereik ik nooit, ik moet oneindig lang doorgaan omdat ik de eerste rij nooit af krijg.

Het optellen van de kolommen heeft dus een andere oneindigheid dan het optellen van de rijen. En daarom krijg ik twee andere uitkomsten.

Overigens is het opstellen van rijen of kolommen niet de meest mooie manier om het aan te pakken. Dat is, op een "oneindig schaakbord" het optellen van diagonalen. In onderstaand plaatje heb ik dat proberen duidelijk te maken. En de vraag is natuurlijk: wat is dan de uitkomst?

Simpel rekenwerk

Stel: Een vaccin biedt 75% bescherming. En stel: Een besmetting vindt plaats binnen een dag. Ja natuurlijk, ik weet dat dit een versimpeling is van de werkelijkheid. Maar het maakt wel duidelijk hoe asociaal het is om je niet vaccineren. 

Het onderstaande rekenvoorbeeld is simplistisch. Zo ga ik er even van uit dat je, als je eenmaal mensen besmet hebt, geen anderen meer kunt besmetten. Kan dat wel, dan groeit de lijn van de niet-gevaccineeerden nog een stuk harder:

Persoon A is besmet en komt met vier personen in contact die allemaal gevaccineerd zijn. Van die personen raakt er 1 (gezien de 75% bescherming) besmet. Die vier personen komen weer in contact met elk vier personen die gevaccineerd zijn. De ene besmette persoon besmet er weer 1. Na drie rondes hebben we drie besmettingen.

Persoon B is besmet en komt in contact met vier personen die niet gevaccineerd zijn. Die personen raken alle vier besmet. Die vier personen komen weer in contact met elk vier personen die niet gevaccineerd zijn. Alle vier besmetten ze er vier. Na drie rondes zijn er 21 personen besmet.

En zo kunnen we doorgaan. De gevaccineerde personen leiden in hun bubbel weer tot een enkele  besmetting. De niet vacaccineerden tot 16*4 is 64. Vier (gevaccineeerden) tegenover 85 (niet gevaccineerden) na vier ronden.

Dit simpele basissschoolrekenwerk maakt wel duidelijk hoe groot het verschil is in een gevaccineerde en niet gevaccineerde bubbel. 

Vaccineren doe je niet voor jezelf! Je doet het om de samenleving weer open te laten gaan. Wil je daar niet aan mee doen? Prima! Maar blijf dan nog even thuis.

De identiteit van de avondklok

Begrijp me niet verkeerd...

Ik steun de maatregelen in deze crisis.

Ik ben er van overtuigd dat zonder (nadere) maatregelen de grenzen die de zorg aan kan overschreden worden.

Maar ik heb nu ook een moreel probleem. De avondklok.

Ik ben blij dat mijn grootouders dit niet meer meemaken. Dat de herinneringen aan de spertijd niet worden opgerakeld. Maar ik ben me ervan bewust dat er nog mensen zijn, die hun jonge leven ingingen met een Duitse spertijd en hun leven misschien eindigen met een corona-avondklok.

En ik vraag me af: waarom konden we dit niet voorkomen? Waarom moesten we in de zomer toch ineens allemaal op vakantie kunnen? Waarom werden maatregelen versoepeld, terwijl we wisten dat we het corona-virus nog lang niet bedwongen hadden?

Ik steun de maatregelen in deze crisis. Maar de maatregelen zijn onvoldoende geweest. Zodat we nu een avondklok krijgen. Die we kennen uit de middeleeuwen, uit de tijd van de tweede wereldoorlog ook. Daar zit mijn morele probleem.

Kan ik instemmen met een maatregel als een avondklok die een overheid neemt, die eerder te weinig maatregelen genomen heeft om haar burgers te beschermen? 

Dat een avondklok nu noodzakelijk is, ik wil het geloven. Maar waarom is er niet alles aan gedaan om deze zeer ingrijpende maatregel te voorkomen? Heeft een overheid die een avondklok moet invoeren, niet eerder gefaald in het beschermen van haar burgers?

De identiteit van de bierbrouwer in Coronatijd

Het zijn moeilijke tijden. Omdat we... oh wacht even, dat weet u al. Daar zal ik het dan ook maar even niet over hebben.

Eigenlijk wil ik het maar over één ding hebben, en ik hou het dan ook kort. Het café.

Het café verkoop hoofdzakelijk alcohol, en dat is niet het meest gezonde product (mocht iemand dit lezen die me niet kent: ik ben zeker niet van de blauwe knoop). Het café is bedoeld om te ontmoeten. In het café loop je als je een bekende ziet naar die bekende toe. In het café zijn veel contacten.

Dat café wordt vaak romantisch gezien als die leuke kroegbaas, van wie het café is. Maar de meeste cafés zijn niet van die leuke kroegbaas.

Uit een onderzoek van SEO, weliswaar 2013 maar recenter vond ik even niet:

Die brouwer, die kan dus even de huur opschorten. Die brouwer die kan de uitbater steunen. Maar die brouwer is Heineken. Grootkapitaal dat gesteund moet worden.

Het openstellen van cafés is een maatregel die niet nodig is. Die corona-verspreiding alleen maar laat toenemen. Die voor de gezondheid geen positieve effecten heeft. Maar wel voor de brouwersfamilies. Want die bezitten de cafés.

Hopelijk gebeurt er nog iets. En voorkomen we een tweede gedeeltelijke lockdown omdat de cafés weer open moeten.

Het einde van het gebroken jaar? Hoe de Coronacrises kansen biedt.

Voor de meeste organisaties in ons land, is het jaar een kalenderjaar. Dat blijkt wel uit de voorjaarsdrukte in de accountancy: de afgelopen en komende weken zijn accountants druk bezig met het samenstellen, beoordelen of controleren van de jaarrekening over het kalenderjaar 2019. Toch zijn er ook organisaties die vooral in gebroken boekjaren denken: sportverenigingen, scholen (hoewel die jaarrekeningtechnisch over kalenderjaren rapporteren).

In het onderwijs is het 'schooljaar' ooit ontstaan vanuit het gegeven dat veel kinderen zonen en dochters waren van boeren. In de periode die nu zomervakantie heet, hadden zij geen vakantie, in de zin van vrije tijd. Zij hadden geen school, omdat ze in het boerenbedrijf van hun ouders mee moesten helpen in de drukken oogstperiode.

Door de Coronacrisis zijn er de komende maand geen sportwedstrijden. Scholen gaan wanhopig op zoek naar vormen van digitaal lesgeven, om leerlingen voor te bereiden op de examens in mei. Het gebroken jaar staat onder druk.

De oplossing is simpel. Laten we de komende maanden de tijd nemen om niet alleen het virus te overwinnen, maar ook om na te denken over een nieuwe inrichting van onze samenleving. Laten we stoppen met het gebroken jaar.

De examens in het voortgezet onderwijs kunnen verplaatst worden naar het najaar. De voetbalcompetitie kan tot eind november doorlopen. Geen rare noodmaatregelen, maar een structurele oplossing.

Op 1 januari 2021 begint een nieuw jaar. Dan begint de nieuwe voetbalcompetitie. Dan begint het nieuwe studiejaar. Eindelijk lopen schooljaren en sportjaren gelijk aan het kalenderjaar. We gaan niet haasten om alles voor de zomer op te lossen, we nemen de tijd om te zorgen dat we begin 2021 met een nieuw jaar kunnen starten, waarin alles nieuw geregeld is.

De kansen zien, en niet de beperkingen. Dat is wat we nu zouden moeten doen. Zodat we van een crisis een winst maken. Want hoeveel boerenkinderen moeten in augustus nog aardappelen rooien?

Nog één keer: Girls Walk By

Zevenendertigeneenhalfjaar geleden. Als je het voluit schrijft, klinkt het nog langer. Ruim 37 en een half jaar. Als ik tenminste goed reken, vanaf 13 maart 1982.

13 maart 1982. Voor de meeste mensen zo maar een datum. Voor een enkeling een bijzondere datum, door een persoonlijke herinnering. Voor een Limburger van 50 jaar of ouder met liefde voor muziek, DE datum: het laatste concert van Girls Walk By.

Girls Walk By. Als de geschiedenis van de Limburgse popmuziek eindelijk geschreven gaat worden, zal deze band bovenaan staan. Ja, zelfs boven Rowwen Heze en Pussycat. Twee dagen na 13 maart 1092 stond er tussen de familieberichten in de Limburger een advertentie: "Hierbij delen we u mede dat heden is overleden: Girls Walk By. Zij was bijna 5 jaar oud."

"5 jaar is lang voor een band", schreef Julien van de Loo in een brief terug, nadat ik hem een brief had geschreven. Julien was voor mij de frontman van de band, al was Gé Reinders misschien meer het muzikale genie. Vijf jaar is niks. Na vijf keer vijf jaar zou er een reünie komen, zo werd met ooit verteld. Die kwam in 2006. Een jaar te vroeg. En ik was er niet bij.

Komende zaterdag speelt GWB eindelijk weer. In een iets gewijzigde samenstelling, noodzakelijk, na het overlijden van Henk Smeets. En dit keer ben ik er wel bij. Met dank aan Tjeu Geelen, die de drijvende kracht achter de organisatie is.

En ik ben er bij.




Ik schreef jaren geleden ook al over GWB: http://jurroencluitmans.blogspot.com/2011/03/de-identiteit-van-een-jeugdliefde-girls.html en http://jurroencluitmans.blogspot.com/2012/04/girls-walk-by.html

De VAR

23 maart 2031. De eerste lentedag van het jaar loop ik hand in hand met mijn kleinzoon van de parkeerplaats, waar ik al meer dan dertig jaar mijn auto neerzet bij thuiswedstrijden, naar het Gelredome. Het mannetje straalt. Net als ik. Voor het eerst samen naar het Gelredome.

"Het is groot, opa, heel groot!" Ik knik. "Ja jongen, het is groot. Vroeger, toen jouw vader nog niet geboren was, waren er zondagen dat er wel 30.000 mensen in het stadion zaten." "30.000, dat is meer dan een miljoen toch?" Ik glimlach. Hij heeft nog de leeftijd van 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-veel. "Bijna net zo veel als een miljoen", zeg ik.

Als we aan komen lopen springt de poort voor ons open. "Vroeger", zei ik, "moest je een kaart hebben. Heel vroeger was dat van papier. Maar dat was nog toen ik naar een andere club ging." 

"Een kaartje van papier? Net zoiets als oma met kerstmis stuurt?" Oma is mijn moeder, weet ik, zijn overgrootmoeder. Ik knik. "En later van plastic." Mijn kleinzoon lacht. "Net als op de kermis bij de botsauto's?" "Zoiets ja." De kermis. De laatste plek op aarde waar je nog betaalt als in mijn jeugd.

We lopen de tribune op en hij kijkt zich de ogen uit. "Vroeger zaten er aan alle vier de kanten mensen", zei ik. "Kijk, ik zat daar boven, links. Samen met mijn broer. En je vader en je oom en hun neef zaten daar rechts." "Zaten jullie niet bij elkaar?" "Toen ze zo jong waren als jij wel, maar later wilden ze op Zuid zitten. Want daar werd meer gezongen."

"Gezongen?" Mijn kleinzoon kijkt me vragend aan. "Ja jongen, vroeger werd er gezongen in een stadion. En gejuicht als er een doelpunt viel." 

"He? Je bedoelt, nadat de VAR... "

"Nee jongen, vroeger was er geen VAR. Toen was er een scheidsrechter, en als die floot dan telde het doelpunt." 

We kijken naar het grote scherm dat de Oosttribune bijna volledig aan het zicht onttrekt. En naar de tafel op de plek waar ooit de middenstip was, vol met kleinere schermen.

"Kijk", zei mijn kleinzoon. "Daar gaat ie zitten!".

"Weet je dat vroeger hier gevoetbald werd?"

Hij begrijpt me niet en kijkt naar het scherm. Op het omboste veld in Zeist, zonder publiek, verschijnen de spelers op een verder verlaten voetbalterrein.

"Weet je dat hier vroeger gevoetbald werd?" Ik probeer het nog een keer.

"Hier?"

"Ja hier. Niet daar." Ik wijs naar het scherm. "Vroeger werd hier gevoetbald, en zaten er overal mensen. En die mensen zongen en juichten als er een doelpunt viel. En toen ik voor het eerst ging, was het hele stadion vol."

Mijn kleinzoon kijkt me vol ongeloof aan. "Maar hoe kon de VAR zich dan concentreren?"

"Goede vraag", zei ik.

De wedstrijd begint. In de bossen van Zeist trapt Heerenveen af voor de uitwedstrijd tegen Vitesse. In het Gelredome kijken vijfhonderd toeschouwers zwijgend toe. 

Ik probeer op het grote scherm de wedstrijd te volgen. Er gebeurt weinig op het veld in Zeist. En ik luister naar mijn kleinzoon.

"Kijk opa, de VAR zet het beeld stil."

Opgewonden schuift hij over zijn stoel.

"Kijk opa, de VAR kijkt terug."

Ik kijk naar het scherm en zie Vitesse de bal achterin gezapig op en neer schuiven. Plotseling wordt het scherm geel en veren de andere 499 bezoekers op. VAR-check! VAR-check knippert het bord.

"VAR-check opa!" roept mijn kleinzoon.

Ik zucht. Een kleine drie minuten later, komt het beeld uit Zeist terug. De scheidsrechter vermaant een speler van Heerenveen, wiens shirt uit zijn broek hangt. 

"Goed gezien he!" roept mijn kleinzoon in extase. "Die heeft echt zijn shirt uit zijn broek."

Vitesse mag opnieuw de aftrap nemen.